集合論

集合論（しゅうごうろん、独: Mengenlehre、英: set theory）は、

集合とよばれる葬儀数学的対象をあつかう数学理論である。

通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。

これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、

という概念を包摂している。現代数学の定式化においては

集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。

（論理や述語論理とともに）集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、

数学的な対象を形式的に（無定義語の）「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。

また、集合論の葬儀社公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、

といった集合それ自体の研究も活発に行われている。

集合論における基本的な操作には、あたえられた集合の

べき集合や直積集合をとる、などがある。また二つの集合の元同士の

関係（二項関係）を通じて定義される順序関係や写像などの

概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの

集合はそれぞれの集合の元の間に一対一の対応がつく

（全単射とよばれる写像が存在する、と定式化できる）とき同等なものと見なされる。

選択公理とよばれる公理を仮定すると濃度とよばれる一系列の

「めやす」(メトリクス)によってすべての集合を全単射の限りで完全に分類できることが導かれる。